সুপ্রিয় শিক্ষাব্রতী সহকর্মীবৃন্দ,

আস্ সালামু আলাইকুম/আদাব,
শিখন-শেখানোর পদ্ধতিগত উৎকর্ষ সাধনের প্রচেষ্টা শিক্ষকজীবনের অন্যতম সাধনা। আশৈশব গাণিতিক চিন্তা-গবেষণার ক্ষুদ্র প্রচেষ্টা হিসাবে এখানে গণিতের একটি অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ বিষয় আলোচিত হলো:-

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র মুখস্থ করা নিয়ে গরদ্ঘর্ম হয়নি এমন শিক্ষার্থী বোধকরি খুঁজে পাওয়া দুস্কর। এই সূত্র মুখস্থ না করেই খুব সরল ও সহজবোধ্যভাবে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করা্র পদ্ধতি দেখানো হলো। এই পদ্ধতি জানলে সূত্রটি আয়ত্ত্বে আনাও একান্ত মামুলি ব্যাপার হয়ে যায়।

 ax² + bx + c = 0           ( দ্বিঘাত সমীকরণ ) হলে

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে এই দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সেটে অবশ্যই দুটি মূল বা মান থাকবে ( সূচক বা ঘাত সংখ্যা যত  মূল সংখ্যাও ততটি হবে, তবে সমীকরণটি পূর্ণবর্গ বা পূর্ণঘন ইত্যাদি হলে মূলগুলোর মান একই হয়।)

(আদর্শরূপ) দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 বা a(x² + bx/a + c/a) = 0 বা x² + (b/a)x + c/a = 0

(reduced অর্থাৎ সংক্ষেপিত বা সহজ রূপে রূপান্তর করলে) , কিংবা অন্যভাবে

 x²+Mx+C=0 ( M= মধ্যপদের সহগ = b/a, C= ধ্রুবক = c/a )

  সম্ভব হলে সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সহজেই সমাধান করা যায়, তবে অনেক রাশিমালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা মোটেই সহজসাধ্য নয়। এরূপ ক্ষেত্রে, প্রচলিত গাণিতিক প্রথা হলো, অবশ্যই (বুঝে কিংবা না বুঝে, অন্ধের মতো) দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্রই প্রয়োগ করে এর সমাধান করতে হবে।

তবে এখানে প্রচলিত "দ্বি-ঘাত সমীকরণের সমাধান-সূত্র" প্রয়োগ ছাড়াই সম্পূর্ণ অভিনব পদ্ধতিতে  দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার কৌশল দেখানো হবে। উপলব্ধিগত দিক থেকেও যেটি অত্যন্ত সহজ ও সরল।

ধরা যাক, দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় p ও q  অর্থাৎ, x = p অথবা x = q তখন x –p = 0 অথবা x –q = 0 হবে।

সুতরাং, (x – p)(x – q) = x² +Mx +C  অথবা x² –(p + q)x +pq = x² + Mx + C . তাইতো এই সিদ্ধান্তে আসা যায় যে, p + q = –M = –b/a এবং pq = C = c/a.

এখন সেই চিরন্তনী অভেদ,

 (এর মূল কথা হলো যেকোন দুটি সংখ্যা p ও q এর সমষ্টির গড় ও অন্তরফলের গড়ের সম্পর্ক এমন যে, সমষ্টির গড়ের সাথে অন্তরের গড় যোগ করলে একটি সংখ্যা এবং বিয়োগ করলে অপর সংখ্যাটি পাওয়া যায়) থেকে পাই,

দ্বিঘাত সমীকরণে  p + q তথা –(p + q) এবং  pq এর মান সহজেই খুঁজে পাওয়া যায়, তাই উপরোক্ত p ও q এর মানের সূত্রদ্বয়কে কাজে লাগাতে কেবল p – q এর মান বের করলেই হবে।

সূত্রটি নিম্নোক্ত বিকল্প পদ্ধতি তথা অভেদ চিরন্তনীর মাধ্যমেও প্রতিপাদন করা যেতে পারে:

(এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রে এই ± ভুলে গেলেও কোন সমস্যা নেই অর্থাৎ প্লাস অথবা মাইনাস যেকোন একটি চিহ্ন বা মান ধরে হিসাব করলেই চলবে, সমাধান সেটে কোন ব্যত্যয় ঘটবেনা।, এতে পরোক্ষভাবে  প্রমাণ হয় যে, যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যে ঋণাত্মক সংখ্যাটি ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে ছোট নয়। আরো মজার ব্যাপার হলো, এই অভেদ সূত্রটি প্রয়োগের সময় M-এর মান অর্থাৎ reduced সমীকরণের x-এর সহগের মানটিই গুরুত্বপূর্ণ, প্লাস বা মাইনাস চিহ্নের গুরুত্ব নেই, তবে C অর্থাৎ ধ্রুবকের চিহ্ন অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। )

সমীকরণের মূলদ্বয় x₁ ও x₂ হলে

(বিঃদ্রঃ-প্রায় চার হাজার বছর আগে বেবিলনীয়দের দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান-সূত্র আবিষ্কারের পর থেকে এমন সহজ-সরল সহজবোধ্য স্বতঃপ্রমাণিত (স্বতঃসিদ্ধ) অভেদসূত্রের মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান প্রক্রিয়া পৃথিবী ইতোপূর্বে দেখেনি কিংবা কেউ দেখাননি। অথচ এটি ধারেকাছে / সবার চোখের সামনেই ছিল। সবাই দুর্বোধ্য সমাধানসূত্র শিক্ষার্থীদের মুখস্থ করানো নিয়ে ব্যস্ত।)

দ্বিঘাত সমীকরণসূত্রের প্রমাণ: উপরোক্ত বর্ণনা মতে (মূলদ্বয়কে একত্রিত করে)

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানে এ কৌশলের বাস্তব প্রয়োগ:

x²  –5x +6 = 0

আলোচিত ব্যাখ্যা মতে অর্থাৎ সংক্ষেপিত আদর্শ বা প্রতীকী দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করলে এই সমীকরণটিতে  p + q =  –M = –( –5) = 5 এবং  pq = 6

তাই, (p – q)² = (p + q)² –4pq = 5² –4.6 = 25 –24 = 1 = (±1) ²

∴ p –q = 1 (আমরা শুধু 1 ব্যবহার করবো, –1 ধরলেও সমাধান একই হবে, তবে সে ক্ষেত্রে মানদ্বয় কেবল প্রতিস্থাপিত হবে।)

অন্য আরেকটি উদাহরণ:  3x² + 7x + 1 = 0,

সমীকরণটিকে রিডিউস করলে পাই  x² + (7/3)x + 1/3 = 0’

ধরি, মূলদ্বয় a ও  b , তখন  a + b = –M ( M= x-এর বা মধ্যপদের সহগ) = –7/3, এবং  ab = 1/3 তাৎক্ষণিক মান পাওয়া যায়।

কয়েকটি দ্বি-চলক সমীকরণের সমাধানের উদাহরণ:

ধরি, x ও y এর মান যথাক্রমে a ও b, অর্থাৎ, a + b = 16 এবং ab = 39

(a – b)² = (a + b)² –4ab = 16² – 4.39 = 256 – 156 = 100 = 10²

∴ a – b = ±10

অতএব, নির্ণেয় সমাধান ( x , y) = ( 13 , 3) , (3, 13)

আবার,

সমীকরণদ্বয় এর সাহায্যে ( x + y )² = (x –y)² + 4xy = 10² + 4.39 = 100 + 156 = 256 = (±16)²

∴ x + y = ±16

কাজেই,

∴ নির্ণেয় সমাধান (x , y) = (13 , 3), ( –3 , –13)

(ii) সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (i) এর সাথে যোগ করে পাই,

x²  + y² + 2xy = 61 + 2×(–3০) = 61 – 60 = 1 = (±1)²

অথবা, (x + y)² = (±1)²  অর্থাৎ, x + y = ±1

(ii) সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (i) এর সাথে বিয়োগ করে পাই,

x²  + y² – 2xy = 61 –2×(–3) = 61 + 60 = 121 = (±11)²

অথবা, (x – y)² = (±11)² অর্থাৎ, x –y = ±11

এখন দুটি সংখ্যার যোগ-বিয়োগের সার্বজনীন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

অতএব, নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (6 , –5), (5 ,–6), (–5, 6), (–6, 5)

মন্তব্য: (১) নং দ্বিচলক সমীকরণদ্বয়ের ১ম সমীকরণের ক্ষেত্রে যোগ প্রক্রিয়া (+ চিহ্ন) বিনিময়-বিধি (commutative property) মেনে চলে বিধায় ১ম মূলদ্বয় ২য় মূলদ্বয়ে কেবল স্থান বিনিময়ে ২য় সমাধান সেট পাওয়া গেছে।

অপর পক্ষে, (২) নং দ্বিচলক সমীকরণদ্বয়ের ১ম সমীকরণের ক্ষেত্রে বিয়োগ প্রক্রিয়া ( – চিহ্ন) বিনিময়-বিধি (commutative law of addition) মেনে  চলে না বিধায় ২য় মূলজোড় একই সংখ্যা “কেবল ভিন্ন ক্রমে” এরূপ হয়নি। বরং এই সাইটেই মূল প্রবন্ধে দেখানো মতে বিয়োগ প্রক্রিয়াও বিপ্রতীপভাবে  বিনিময়-বিধি (inversely commutative) মেনে চলে বিধায় ১ম মূলদ্বয়ের যোগাত্মক বিপরীত (additive inverse) সংখ্যা ২য় মূলজোড়ে স্থান বিনিময় করেছে। ইনভার্সলি কমিউটেটিভ হওয়ার অর্থ হলো a – b = c হলে অবশ্যই  (–b) – (–a) = c বা b – a = –c হবে অর্থাৎ, সংখ্যাদ্বয়ের যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যা দ্বারাই কেবল  বিনিময়যোগ্য (commutative)।   

অর্থাৎ,  ৭ – ৩ = ৪ তাই (–৩) – (–৭) = ৪  বা ৩ – ৭ = –৪ ।

(৩) নং সমীকরণটি (১) নং ও (২) সমীকরণদ্বয়ের গুণের সমতুল্য বিধায় এর (৩নং) সমাধান সেটে চার জোড়া মান পাওয়া যায়।

কিভাবে অনাগত চারহাজার বছর পরের আগাম আবিষ্কার:

অনেকেই অবগত আছেন যে, সম্প্রতি এমন খবর বেরিয়েছিল দীর্ঘ চার হাজার বছর পর বীজগণিতের দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সহজ সমাধান পদ্ধতি খুঁজে পেয়েছেন মার্কিন গণিতবিদ, কার্নেগি মেলন বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতের অধ্যাপক এবং আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে যুক্তরাষ্ট্র দলের দলনেতা পো শেন লো (Po-Shen Loh)।  তাঁর বর্ণনায় বিষয়টি গত ২০১৯ইং সেপ্টেম্বরের কোন এক সময় তাঁর মাথায় প্রথম আসে। সংগত কারণেই উক্ত আবিষ্কারের সঙ্গে এই সাইটের স্বার্থ জড়িত রয়েছে। এখন দেখুন: উক্ত সাইটে ইংরেজি ভার্সনে যা প্রকাশিত হয়েছে তা হুবহু এরূপ: (a ˗ c) = (c ˗ b) = (b ˗ e) = (f ˗ a) = d

Where c = (a + b)/2, d = (a ˗ b)/2, e = (3b ˗ a)/2, f = (3a ˗ b)/2 and

e ˗ g = h ˗ f = d,

g ˗ i = j ˗ h = d etc. infinitely extensible. ( যা অনেক আগেই উদ্ভাবিত, যদিও তা ০৮/০৮/২০১৯ এ www.mathengine.xyz এ প্রকাশিত, পো সাহেবের মাথায় আসারও মাসাধিক আগে)।

যাকে সহজবোধ্যভাবে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়:

  এ অনন্ত-ধারা / মূলসূত্রের এখানে প্রাসঙ্গিক অংশ-বিশেষ হলো:

। আরো টেকনিক্যালি বললে, দুটি সংখ্যার প্লাস অপারেশনের অর্ধেকের সাথে সংখ্যা দুটির মাইনাস অপারেশনের অর্ধেককে প্লাস ও মাইনাস করলেই সংখ্যাদুটিকে আলাদাভাবে ফিরে পাওয়া যায়।)

পো সাহেব তাঁর ব্যাখ্যায় দ্বিঘাত সমীকরণের “–b/ a” (বা  –B হিসাবেও উল্লেখ করেছেন), যাকে তিনি (যেখানে a = x² এর সহগ, b = x এর সহগ, কাজেই mathengine.xyz এ প্রকাশিত সূত্রে ব্যবহৃত a ও b আর বিখ্যাত দ্বিঘাত সমীকরণে ব্যবহৃত a ও b কিন্তু এক নয়, সাইটে ব্যবহৃত বর্ণের সাথে অখণ্ডতা বজায় রাখার জন্য যে কোন দুটি সংখ্যা বোঝাতেও a ও b   ব্যবহার করা হলো ) মূলদ্বয়ের সমষ্টি হিসাবে খুঁজে পেয়েছেন। দ্বিঘাত সমীকরণ সূত্র প্রমাণে এর গড়কে ব্যবহার করেছেন এবং অপর পক্ষে তিনি যেটিকে কেবল “common unknown amount/offset” = z হিসাবে দেখিয়েছেন (তার বেশি কিছু একটুও বলেননি বা বলতে পারেননি), কিন্তু এটি যে কেবলই   অর্থাৎ মূলদ্বয়ের পার্থক্যের/মাইনাস অপারেশনের গড় ছাড়া কিছুই নয় তা চিরন্তনী অভেদ সূত্রের মাধ্যমেই কেবল স্পষ্টীকৃত হয়।

প্রথম আলোয়  “চার হাজার বছর পর দ্বিঘাত সমীকরণের নতুন সমাধান?” শিরোনাম দেখেই এ গণিতচিন্তকের প্রথম যা মাথায় এসেছিল তাহলো ষড়যন্ত্রতত্ত্ব (conspiracy theory): এ নিশ্চয় তাঁর “দুহাজার বছরের সংশোধনীর” চ্যালেঞ্জ (মাসখানেক আগে বেনামীতে এরূপ সংশোধনীর দাবী করে খবর প্রকাশের জন্য দেশ-বিদেশের অনেক পত্রিকার ঠিকানায় ই-মেইল করেছিলেন) -এর ব্যঙ্গাত্মক জবাব দেওয়ার জন্য , আর নতুন কিছু যদি হয়ও তা কোথাও না কোথাও তাঁর (এ গণিতচিন্তকের) বিষয়ের সাথে মিলে যাবে/তাঁর সূত্রাদিকে অতিক্রম করতে পারবে না-এই দৃঢ় বিশ্বাস (মনে মনে বাজি ধরে) নিয়ে প্রবন্ধখানা/রিপোর্টটি পড়ছিলেন, আর যখনই “…এরপরই পো লক্ষ করেছেন, দুটি সংখ্যার যোগফল যদি অপর একটি সংখ্যা হয়, তাহলে সংখ্যা দুটির প্রতিটি সেই যোগফলের অর্ধেক হবে অথবা একটি অর্ধেকের বেশি এবং অন্যটি অর্ধেকের কম হবে!” পড়লেন তাঁর মনে হলো, এটাই যদি চারহাজার বছর পরের আবিষ্কার হয়, তবে এটা তো কুম্ভিলকতা (plagiarism), নয়তো স্রেফ সমসাময়িক আবিষ্কার (contemporary discovery)-এর মতো ইতিহাস-বাহুল্য ঘটনা।  (লেখায় জনাব মুনির হাসান যেভাবে উচ্ছ্বাস প্রকাশ করেন তাতে তাঁর(এ গণিতচিন্তকের) গগণবিদারী চিৎকার দিতে ইচ্ছে করেছিল এই বলে, “স্যার, এটা তো আমার আবিষ্কার- এতো একজন বাংলাদেশি শিক্ষকের, আপনি অযথাই অন্যকে নিয়া মাতামাতি করছেন।" এসব কথা নাকি ভব্যতা বিবর্জিত।) কাজেই তিনি কেবল বিষয়টির প্রতি দৃষ্টি আকর্ষণ করে মন্তব্য দিয়েছিলেন। কিন্তু পরে লিংকটিতে গিয়ে দেখেন সব মন্তব্য মুছে ফেলা হয়েছে। আর মন্তব্যটি না মুছে ফেললে হয়তো, এ লেখা প্রকাশের গরজ হতো কিনা সন্দেহ। 

প্রসঙ্গত, পো সাহেবের সংশ্লিষ্ট ভিডিওটি এখানে এবং তাতে গণিতচিন্তকের করা কমেন্টটি এখানে দেয়া হলো।

তবে পো শেন লো সাহেবের “A Simple Proof of the Quadratic Formula” গবেষণাপত্রে অতীতের গণিতবিদদের “অজ্ঞতা” (দৃষ্টি এড়িয়ে যাওয়া) বিষয়ে যে মন্তব্য করেছেন/ বিস্ময় প্রকাশ করেছেন তার সাথে এ গণিতচিন্তক সম্পূর্ণ  একমত প্রকাশ করতে পারছেন না এ জন্য যে, হতে পারে অনেক গণিতবিদই “পো সাহেবের অংশটি” অবশ্যই জানতেন, কিন্তু একটি সংবিধিবদ্ধ সূত্রকে প্রাধান্য দিতে গিয়ে তাঁরা এরূপ সহজ প্রক্রিয়াকে গুরুত্ব/পাত্তা দেননি (uncertainty principle?)। এখানে দেখানো নিয়মটিও হয়তো কারো না কারো জানা ছিল, সেটি গ্রণ্থবদ্ধ করেননি বা করা হয়নি। আর ওনার  (Po Shen-Lo)ক্ষেত্রেও  যেমনটি হয়েছে z  সমান যে, (a – b)/2 (মূলদ্বয়ের অন্তর বা ব্যবধানের অর্ধেক) সে বিষয়টি তো উনিও খেয়াল করেননি, নচেৎ মোক্ষম দাঁও (masterstroke) টা তো উনিই মারতেন , অথবা রহস্যময় কারণে এপথে পা মাড়াননি কিংবা সবই উপরওয়ালার ইচ্ছা।  

পো সাহেবের বড় কৃতিত্ব হলো তিনি বিষয়টি (অর্থাৎ সমষ্টির গড়ের গুরুত্বের বিষয়টি পূর্বের গণিতবিদগণ জানতেন না কিংবা গ্রন্থিত হয়নি।) সকলের গোচরীভূত করেছেন। ফলশ্রুতিতে পূর্বোক্ত  “অভেদ চিরন্তনী” যে সত্যই এতটা গুরুত্বপূর্ণ তা উপলব্ধিতে এ গণিতচিন্তককে সহায়তা করেছেন। যার ফলে ইনিও একটু নড়েচড়ে বসলেন বটে, পূর্বে যেখানে সাইটটি বেনামীতে (written etc. by an “outsider”) চলছিল, সেটি এখন স্বনামে প্রকাশিত ও প্রচারিত হচ্ছে। (সৎ ও মহৎ কাজের স্বীকৃতি কে না চায়?)

প্রিয় পাঠক, এখন পো সাহেবের ব্যাখ্যা-বিশ্লেষণের সঙ্গে “অভেদ চিরন্তনী সূত্র” মিলিয়ে দেখুন, যারা একটু হলেও গণিত বোঝেন তাদের কাছে  এ বিষয়টি স্পষ্ট যে, দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্রের বিষয়ে তিনি (পো সাহেব) যা আবিষ্কার করেছেন তা সূত্রটির অর্ধেক ব্যাখ্যা, আর সেটি আবিষ্কার করতে যদি চার হাজার বছর প্রয়োজন হয়, তাই স্বাভাবিক নিয়মে বাকি অর্ধেকের (discriminant বা নিশ্চায়ক অংশের সাথে জড়িত বা সম্পর্কিত) পরিচয় আবিষ্কার হতে নিশ্চয় আরো চারহাজার বছরের প্রয়োজন ছিল, কাজেই সেটি এখনই  math-engine.blogspot.com সাইটটিতে প্রকাশ (আবিষ্কার?) হওয়ায় এটিকে “অনাগত চারহাজার বছর পরের আগাম আবিষ্কার” দাবি করা নিশ্চয় অযৌক্তিক বা দোষের কিছু নয় (পাঠক, ইচ্ছে হলে, একে বক্রোক্তিও ধরে নিত পারেন।)