স্যান্ডউইচ থিওরেম (Sandwich Theorem)

উচ্চতর গণিতের ক্যালকুলাসসহ বিভিন্ন গাণিতিক বিশ্লেষণ ও কোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লিমিট বা সীমা নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত একটি উপপাদ্য হচ্ছে স্যান্ডউইচ থিওরেম (Sandwich Theorem)। এটি অনেক সময় স্কুইজ থিওরেম (Squeeze Theorem) বা পিঞ্চিং থিওরেম (Pinching Theorem) নামেও পরিচিত। মূলত  এই উপপাদ্যটি অন্য দু’টি ফাংশন তুলনা করে সীমা জানা আছে কিংবা নিশ্চিতভাবে নির্ণয় করা যায়, এমন তৃতীয় আরেকটি ফাংশনের সীমা নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়। লিমিট বা সীমার ক্ষেত্রে আমরা জানি, কিছু দোদুল্যমান ফাংশন (oscillating function) দোলনের বিন্দুতে (at the point of oscillation) বিচ্ছিন্ন বা অসংগায়িত বলে বিবেচিত হয়। এই ধরনের ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করা যায় না। কিন্তু স্কুইজ স্যান্ডউইচ থিওরেমের সাহায্যে আমরা একটি দোদুল্যমান ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করতে পারি।

গাণিতিক পরিমাপ তত্ত্বে ব্যবহৃত স্যান্ডউইচ উপপাদ্য বিবৃত করছে যে, প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার n-এর জন্য n-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে n সংখ্যক পরিমাপযোগ্য অবজেক্ট দেওয়া থাকলে (তাদের পরিমাপের সাপেক্ষে, যেমন- আয়তন) তাদের প্রত্যেকটি অংশকে (n − 1) মাত্রিক হাইপারপ্লেনসহ অর্ধেক করে ভাগ করা সম্ভব । এমনকি বস্তুগুলো ওভারল্যাপ করলেও এটি সম্ভব।

এই থিউরিটি হুগো স্টেইনহাউস (Hugo Steinhaus) সর্বপ্রথম প্রস্তাবিত করেন ও স্টেফান ব্যানাচ (Stefan Banach) (স্পষ্টভাবে ত্রিমাত্রার ক্ষেত্রে, যদিও এন-মাত্রিক ক্ষেত্রেও দ্ব্যার্থহীনভাবে প্রমাণ করা যায়) প্রমাণ করেন। এর কয়েক বছর পরে আর্থার এইচ. স্টোন (Arthur H. Stone) এবং জন টুকি (John Tukey) কর্তৃক সর্বশেষ প্রমাণ আধুনিকীকরণ ও আদর্শকরণের ফলে এটিকে স্টোন-টুকি উপপাদ্য (Stone–Tukey Theorem) বলা হয়। এমন দু’টি ফাংশনের দোদুল্যমান বক্ররেখাকে একসাথে করে ফেলি কিংবা চেপে ধরি, যার মান জানা আছে কিংবা নির্ণয় করা সহজ। এটা অনেকটা অনেকটা এমন, মনে করুন, আপনি একটি পিনাট-বাটার স্যান্ডউইচ তৈরি করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন। এখন চিনাবাদাম-মাখনসহ প্রয়োজনীয় উপাদানসমূহ মেখে দুই টুকরো রুটির মাঝে রেখে একটু চাপ দিন। সীমা নির্ণয়ের জন্য জ্ঞাত মানের দু’টি বক্ররেখাকে এভাবে স্যান্ডউইচ বানানোর মতো করে কনফর্ম (conform) বা স্কুইচ (squeeze) করতে হয়, বলে একে স্যান্ডউইচ থিউরেম বা স্কুইজ থিউরেম বলা হয়।

বিবৃতি: মনে করি, f, g ও h তিনটি বাস্তব ফাংশন, যেখানে f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), সংজ্ঞার সাধারণ ডোমেনে সকল x এর জন্য। কিছু বাস্তব সংখ্যার জন্য a, যদি g(x) কে a এর কাছে f(x) ও h(x) এর মধ্যে স্কুইজ করা হয় অর্থাৎ চেপে ধরা হয়। তবে f(x) ও h(x)-এর একই সীমা a এর মধ্যে থাকে, তাহলে g(x) হবে আটকা পড়ে এবং একই সীমা L এর মধ্যে থাকতে বাধ্য হয়।